高中数学第十四章 导 数
考试内容：
©导数的背影．
©导数的定义．
©多项式函数的导数．
©借助导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
©报考条件：
©（1）知道导数定义的某些实质背景．
©（2）理解导数的几何意义．
©（3）学会函数，y=c、y=xn的导数公式，会求多项式函数的导数．
©（4）理解很大值、极小值、最大值、最小值的定义，并会用导数求多项式函数的单调区间、很大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
©（5）会借助导数求某些简单实质问题的最大值和最小值．
§14. 导 数 常识要素
1. 导数（导函数的简称）的概念：设
是函数
概念域的一点，假如自变量
在处有增量
，则函数值
也引起相应的增量
；比值
称为函数在点到
之间的平均变化率；假如极限
存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作
或，即=.
注：①是增量，大家也称为“改变量”，由于可正，可负，但不为零.
②以知函数概念域为
，的概念域为
，则与关系为
.
2. 函数
在点处连续与点处可导的关系：
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明，假如在点处可导，那样点处连续.
事实上，令
，则
等于
.
于是
⑵假如点处连续，那样在点处可导，是不成立的.
例：在点
处连续，但在点处不可导，由于
，当＞0时，
；当＜0时，
，故
没有.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点
处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
4. 求导数的四则运算法则：
（
为常数）
注：①需要是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商未必不可导.
比如：设
，，则在处均不可导，但它们和
在处均可导.
5. 复合函数的求导法则：或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的断定办法：设函数在某个区间内可导，假如＞0，则为增函数；假如＜0，则为减函数.
⑵常数的断定办法；
假如函数在区间
内恒有=0，则为常数.
注：①
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
在上并非都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，假如f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那样f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调降低）的.
7. 极值的辨别办法：（极值是在附近所有些点，都有
＜
，则是函数的很大值，极小值同理）
当函数在点处连续时，
①假如在附近的左边＞0，右边＜0，那样是很大值；
②假如在附近的左边＜0，右边＞0，那样是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 除此之外，函数不可导的点也会是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部定义，极值点的大小关系是不确定的，即大概很大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来未必成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
比如：函数，使=0，但不是极值点.
②比如：函数
，在点处不可导，但点是函数的极小值点.
8. 极值与最值有什么区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点肯定有意义.
9. 几种容易见到的函数导数：
I.
（
为常数） 
（） 
II.
III. 求导的容易见到办法：
①常用结论：.
②形如或
两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这种函数，如取自然对数之后可变形为
，对两边求导可得
.
