第3讲 平行线的架构模型及综合
命题：
例：如图，有下列三个条件：①DE∥BC:②∠1=∠2；③∠B=∠C.
若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来；
请你就其中的一个真命题给出推理过程。
平移：
1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型如图1 所示,那样他们用的铁丝
A、一样多 B、小明的多 C、小华的多 D、不可以确定
2.如图，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那样第4个图案中有白色六边形地面砖______块，第n个图案中有白色地面砖__________ 块．
3.如图，将Rt△ABC沿AB方向平移得到Rt△DEF，已知BE=6，EF=8，CG=3，求阴影部分的面积。
探究：夹在平行线间的折线问题，平行线的架构：“铅笔”型，“M”型，过拐点作已知直线的平行线。
例1．已知：如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间． 判断∠M，∠A，∠B的关系；
例2.如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系,请你从所得关系中任意选取一个加以说明。
训练：1.如图1所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若
∠1=35°，则∠2的度数为__________．
2.如图2所示是汽车灯的剖面图,从坐落于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA,CD都是水平线,若∠ABO=α,∠DCO=60∘,则∠BOC的度数为（ ）
A.180∘−α B. 120∘−α C. 60°+α D. 60∘−α
3.如图3，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC的度数为__________°．
图1 
图2 
图3
例3：如图3-1，已知：AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF．
（1）求证：∠1＋∠2＝90°；
（2）如图3-2，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求证：FG∥EH．
例4：如图4，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是__________度．
例5：如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF:
训练：1.如图AB∥CD，∠B=∠C，求证：BE∥CF。
2.如图，假如AB∥CD，CD∥EF，那样∠BCE等于
A．∠2－∠1 B．∠1＋∠2 C．180°－∠2＋∠1 D．180°－∠1＋∠2
3.如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ）
A. ∠B+∠F+∠D=∠E+∠G B.∠E+∠F+∠G=∠B+∠D
C. ∠F+∠G+∠D=∠B+∠E D. ∠B+∠E+∠F=∠G+∠D
4．如下图，AB∥DE，那样∠BCD＝．
A.∠2－∠1 B.∠1＋∠2 C.180°＋∠1－∠2 D.180°＋∠2－2∠1
平行线与折叠：（角度计算）
1. 一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若，则① 
② 
③
④ 
以
上结论正确的有__________．（填序号）
2.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
∠1＝∠2； ∠3＝∠4；
∠2＋∠4＝90°； ∠4＋∠5＝180°
其中正确的个数是．
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，已知射线CD∥AB，∠C=∠ABD=110°，E，F在CD上，且满足∠EAD=∠EDA，AF平分∠CAE.
（1）求∠FAD的度数；
（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那样∠ADC：∠AEC的值是不是发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；
（3）在向右平行移动BD的过程中，是不是存在某种状况，使∠AFC=∠ADB？若存在，请求出∠ADB度数，若没有，说明理由.
作业：
1．如图，已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°.
2．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那样∠2的度数是______．
3．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______度．
4．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______．
5.如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数.
6.有一条长方形纸带，按如图所示方法沿AB折叠，若∠1＝64°，求图中∠3的度数．
7.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．求证：AC∥DE
8．已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD．
第3讲 平行线的架构模型及综合答案
命题：
解：一共能组成2个命题，它们是：题设：①②，结论：③；题设：①③，结论：②；
状况一题设：①②，结论：③；
证明：如图,∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C；
状况二题设：①③，结论：②；
证明：如图,∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又∵∠B=∠C，
∴∠1=∠2.
平移：
1.A 2. 18，4n+2 3. 39
探究：
例1．∠M+∠A+∠B=180° （2）∠M=∠A+∠B
例2.如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系,请你从所得关系中任意选取一个加以说明。
解：
图1:∠APC=∠PAB－∠PCD
延长BA交PC于E，
∵AB∥DC，
∴∠PEA=∠C，
∵∠PAE+∠1+∠P=180，
∴∠PAE+∠PAB=180.
∴∠PAB=∠C+∠P；
图2:∠APC=∠PCD−∠PAB，
∵AB∥DC，
∴∠PEB=∠C，
∵∠PEA+∠A+∠P=180°，
∠PEA+∠PEB=180°
∴∠PEB=∠P＋∠A，
∴∠APC=∠PCD−∠PAB
训练：
1. 25° 2. C 3. 110°
例3：证明：过点O作OM∥AB,
则∠1=∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90∘，
即∠EOM+∠FOM=90∘，
∴∠1+∠2=90∘；
∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE=180∘，
∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH
∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，
∵∠1+∠2=90∘
∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180∘，
∴∠CFG=∠CHE，
∴FG∥EH.
例4： 40
例5：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,则CG∥DH，
∵∠B=25°，
∴∠BCG=25°，
∵∠BCD=45°，
∴∠GCD=20°，
∵CG∥HD，
∴∠CDH=20°，
∵∠CDE=30°，
∴∠HDE=10°
∴∠HDE=∠E=10°，
∴DH∥EF，
∴DH∥AB，
∴AB∥EF.
训练：1.略，同例5 2.C 3. A 4.C
平行线与折叠：（角度计算）
1. ①③ 2.D
3.（1）∠FAD=35∘
∵射线CD∥AB,∠C=110°，
∴∠CAB=70°，∠BAD=∠EAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠BAD=∠EAB.
∵AF平分∠CAE，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD
=CAB=×70°=35°；
（2）不变。
∵AB∥CD,∠C=110∘，
∴∠CAB=70∘.
当BD向右平移时，∠EAD增大，∠CAB不变，
∵∠EAD=∠EDA，∠AEC=∠EAD+∠EDA，
∴∠ADC:∠AEC=1:2；
（3）存在
∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°，
∵由知∠FAD=35°，
∴∠AFC=x°+35°.
∵AB∥CD,∠ABD=110°，
∴∠BDC=70°，
∴∠ADB=70°−x°，
∵∠AFC=∠ADB，
∴x+35=70−x,
解得x=17.5，
∴∠ADB=70°−17.5°=52.5°.
作业：
