5.辅助线之架构特殊三角形
1.如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球
，
是地面上相距
米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角
，求汽球的高度为多少.（精准到
米，
=1.732）
答案：32.9
分析：
过点作
于
点，设
米.
在
中，
，
∴
（米）
在中，
∴
（米）
又∵
∴
∴
（米）
∴
（米）
2.如图，在
中，已知
，求中
多少度；
多少度；
多少度.
答案：30；30；120
分析：
作于点，则
，
由
，得
3．如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面
点测得的仰角为45°，从地面点测得的仰角为60°．已知米，点和直线
在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
答案：
分析：
作
，垂足为，设气球离地面的高度为
米．
在
中，
，∴．[来源:Zxxk.Com]
在
中，，∴
．
∵
，∴
，∴．
答：气球离地面的高度为米
4.已知：如图，中，，是
上一点，
，求的度数及的长？
答案：见分析
分析：
过点作于
，则．
在中，
，
∴
在
中，，∴，
∴
，
，
在中，，∴
5.某旅游区有一个景观奇异的望天洞，
点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭
处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道
返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡
的长为
米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角
，过点作地面的垂线，垂足为
．
（1）求的度数；
（2）求索道的长．（结果保留根号）
答案：见分析
分析：
⑴∵，∴．
又∵，∴，
∵，
∴．
⑵过点作
于点
．
在中，，
∴，[来源:Z.xx.k.Com]
又∵
，
∴，
．
在
中，，
∴，
∴（米）
答：索道长米．
6.如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若
,求点到的距离.
答案：6
分析：
过点作，并交于点.
∵
是的角平分线，
∴
.
又∵，
∴.
∴
.
∴.
∴
.
7.某片绿地的形状如图所示，其中，，
，
，
，求的长为_、的长为___.（精准到
，）.
答案：227；146
分析：
延长、交于点，
在中，，则
，
由，得，
从而.
在中，∵，，
∴
，
从而
，
∴，
.
8.已知：如图，在四边形中，
，，，
，．求这个四边形的面积．
答案：
分析：
连结，过点作于，是直角三角形，面积为，且
，在 和中，设，，解得，
∴
，，
∴四边形的面积为．
9.如图,已知梯形中, 
,,,,,则下底的长为 ___．
答案：10
分析： 过作，把梯形分成平行四边形和直角三角形，借助平行四边形的对边相等得到，所以可以求出，在直角三角形中，依据，借助勾股定理求出的长也就能求出了．
解：如图，过作交于点，
，四边形是平行四边形，
，
，
，
（直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半），
在中，，
即
，
解得
，
．
故答案为：10．
10.如图，在鱼塘两侧有两棵树、，小华要测量此两树之间的距离．他在距树的处测得，又在处测得．求、两树之间的距离？（结果精准到）（参考数据：，）
答案：17.3
分析：
作，垂足为点.
∵，，∴，∴，
∴.
在中，∵，∴.
答：、两树之间的距离约为.
11.如图，在 中， ，则 的值为多少.
答案：4
分析：作的中线，过作于，求出，求出，依据勾股定理求出，代入求出即可．
解
：
作的中线，过作于，
，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
，
在 中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
.
12.如图，在梯形 中， ，垂足为点 ．若 ，求的长为__．
答案：2
分析：过点 作 于 ，借助锐角三角函数关系得出 的长，进而得出 的长，再依据含 角的直角三角形的性质即可得出 的长．
解：过点 作 于，则 ，
在 中， ，
，
即 ，
，
，
．
13.如图，四边形 中， ，且 ，求四边形 的面积为__．
[来源:学科网ZXXK]
答案：1.5
分析：解：如图延长 交 延长线于点 ，
又
四边形 的面积
14.如图，在平行四边形 中， 分别在 和 的延长线上， ．求
的长
分析：第一证明四边形 是平行四边形，可得 ，即 为 中点，然后再得 ，再借助三角函数可求出 和 的长即可．
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，即 为 中点，
，
，
，
，
过 作 于点 ，
，
，
，
，
．
15．如图，在四边形 中， ，且 ， ，则四边形 的面积为____.
答案：12
分析：依据题意推知 和 是等腰直角三角形，则 ．
解：如图，延长 交于点 ．
，
．
，
．
，
又 ，
，
，
．
故答案是：12．
16.某校在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平米 元，则购买这种草皮至少要__________元．
答案：150a
分析：先做 的高 ，求出 ，再得出 ，再依据 求出三角形的面积，最后依据这种草皮每平米元，即可得出答案．
解：做 的高 ，
，
，
，
，
这种草皮每平米 元，
购买这种草皮至少要 元，
故答案为：150a．
17.如图，四边形 中， ，则 的长
分析：延长 交于 ，求出 ，求出 长，在 中，求出 ，在 中，依据勾股定理求出 即可．
解：
延长 交于，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ．
18.如图，在 中， 交边 于点
（1）求的度数为__；
（2）求的度数为___．
答案：45；45
分析：（1）依据已知可求得 的度数，再依据三角形外角的性质即可求得 的度数．（2）过 作 于 ，连接 ，依据直角三角形中 度所对的边是斜边的一半及已知可推出 ，从而可得到 ，从而可求得 ，依据等角对等边可得 ，再借助等边对等角的性质即可证得结论．
（1）解： ，
，
；[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学,科,网Z,X,X,K]
（2）证明：过 作 于 ，连接．
，
，
，
，
，
，
．
19.如图，在五边形 中 ，则五边形的周长是（）
分析：可延长和交于一点，依据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出和的值，进而求出答案．
解：可延长和交于一点，
依据五边形的内角和定理和已知条件，可得是等腰直角三角形，四边形是正方形.
则，∴
所以五边形的周长是．
20.如图，四边形 中， ，则 的长为
分析：延长，两延长线相交于点，依据 是等腰直角三角形，得 ，从而求出 的长．
解：如图，延长 ，两延长线相交于点，
，
是等腰直角三角形
，又
是等腰直角三角形
设 ，则
解得：
21.如图，线段 的长为 ， 为 上一个动点，分别以 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ，那样长的最小值是____.
答案：1
分析：依据垂线段最短这个要点来架构辅助线解题.
解：延长 和 交于一点 ，连接
∵ 和均为等腰直角三角形
∴
∴
∴四边形为矩形
∴
∵当时，有最小值。且为等腰直角三角形
∴的最小值
∴的最小值为1
